Problema de horas, ángulos y minutos
¿En qué minuto entre las 11 y las 12 horas, un reloj de aguja tiene las agujas perfectamente alineadas?
Antes de comenzar con la resolución, vamos a mencionar que cuando ambas agujas están alineadas, forman un ángulo de 180°, como se observa en la Figura 1.
Cálculo del ángulo que recorre la aguja de las horas (α) en función de los minutos
El circulo de un reloj está dividido en 12 horas, por lo que el ángulo entre cada hora es 360° / 12 = 30°. Entonces, el ángulo entre las 11 y las 12 horas es de 30°.
Considerando que cuando la aguja de las horas está en la hora 11 el ángulo es 0°, cuando está en la hora 12 está en 30° y entre las 11 y las 12 pasan 60 minutos, entonces el ángulo α formado por la aguja de las horas en el minuto "x" formado será: α = (30° / 60 min.) * x min. (Figura 2) .
Cálculo del ángulo que recorre la aguja de los minutos (β) en función de los minutos
El aguja de los minutos recorre la vuelta entera, que son 360°. Considerando como ángulo 0° cuando el aguja de los minutos está en la hora 12 (vertical apuntando hacia arriba), entonces el ángulo β formado por la aguja de los minutos en el minuto "x" será: β = (360° / 60 min.) * x min. (Figura 3).
Solución final
Cuando el minuto "x" sea la respuesta a la pregunta inicial, se cumplirá que (30° - α) y β son igual a 180°, como se muestra en la Figura 4. Por lo tanto, resolvemos el problema de la siguiente manera:
Antes de comenzar con la resolución, vamos a mencionar que cuando ambas agujas están alineadas, forman un ángulo de 180°, como se observa en la Figura 1.
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| Figura 1 |
Cálculo del ángulo que recorre la aguja de las horas (α) en función de los minutos
El circulo de un reloj está dividido en 12 horas, por lo que el ángulo entre cada hora es 360° / 12 = 30°. Entonces, el ángulo entre las 11 y las 12 horas es de 30°.
Considerando que cuando la aguja de las horas está en la hora 11 el ángulo es 0°, cuando está en la hora 12 está en 30° y entre las 11 y las 12 pasan 60 minutos, entonces el ángulo α formado por la aguja de las horas en el minuto "x" formado será: α = (30° / 60 min.) * x min. (Figura 2) .
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| Figura 2 |
Cálculo del ángulo que recorre la aguja de los minutos (β) en función de los minutos
El aguja de los minutos recorre la vuelta entera, que son 360°. Considerando como ángulo 0° cuando el aguja de los minutos está en la hora 12 (vertical apuntando hacia arriba), entonces el ángulo β formado por la aguja de los minutos en el minuto "x" será: β = (360° / 60 min.) * x min. (Figura 3).
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| Figura 3 |
Solución final
Cuando el minuto "x" sea la respuesta a la pregunta inicial, se cumplirá que (30° - α) y β son igual a 180°, como se muestra en la Figura 4. Por lo tanto, resolvemos el problema de la siguiente manera:
(30° - α) + β = 180
30° - (30° / 60 min) * x + (360° / 60 min) * x = 180°
5,5 (°/min) * x = 150°
x = 150° / 5,5 (°/min)
x = 27 min
Viola!
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| Figura 4 |
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