El Ejercicio de la Crema Solar
La teoría
Las cremas solares nos protegen de las radiación ultravioleta solar, que nos daña la piel si estamos expuestos por mucho tiempo. La radiación ultravioleta está compuesta por radiación UVC, UVB y UVA. Luego de atravesar la atmósfera, la UVC es totalmente absorbida, parte de la UVB es absorbida y la UVA atraviesa la atmósfera sin ser absorbida. El FPS de las cremas solares son un indicativo de cuánta radiación UVB que llega a la tierra es absorbida por nuestra piel, a mayor FPS, menor radiación UVB es absorbida por nuestra piel. Pero no nos dice nada sobre cuánto frena a la radiación UVA. Por esta razón, algunas cremas también informan en su etiqueta sobre el poder de barrera que ejercen sobre la raciación UVA.
Ahora... el ejercicio (iba a decir el "problema", pero una vez un alumno me pidió que no dijera que es un problema porque tiene una connotación negativa, por lo que ahora digo sólo "ejercicio").
Cierta crema solar dice que nos protege del 99% de los rayos UVB, es decir, del 100% de los rayos UVB que llegan a nuestro cuerpo, el 99% es frenado y el 1% llega a nuestra piel. Y también nos dice que el 96% de todos los rayos UVB y UVA son frenados por la crema, y el restante 4% llegan a nuestra piel. Si de la radiación ultravioleta que llega a la tierra el 95% es UVA y el 5% es UVB, ¿qué porcentaje de la radiación UVA es frenada por la crema?
La respuesta, la semana que viene.
Resolución
Tenemos mucha información para este ejercicio, y la volcaremos en ecuaciones para resolverlo. Debe haber varias formas de resolverlo, dependiendo de las ecuaciones que usemos. Mientras tengamos la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas, podremos resolver el problema.
Empecemos diciendo que la totalidad de los rayos que llegan a nuestro cuerpo son UVB y UVA, y ésto los representamos de la siguiente ecuación:
Para cada rayo UVB y UVA, una porción será absorbida por la piel, y otra será frenada por la crema, lo cual los representaremos con las siguientes ecuaciones:
donde los subíndices "t", "a" y "f" significan "total", "absorbido por la piel" y "frenada por la crema", respectivamente.
En este momento es bueno definir que lo que estamos buscando es "UVAf/UVAt", es decir, el porcentaje, o la fracción, de la radiación UVA que es frenada por la crema. Para ser estrictos, el porcentaje sería "(UVAf/UVAt)*100%".
Ahora vamos ponerle números a las ecuaciones. En el tercer párrafo, el "informativo", la última información suministrada nos dice que;
Y se ve claramente que UVBt + UVAt = 1.
Por otro lado, la primer parte del párrafo dice que:
De aquí podemos obtener el porcentaje de los UVB absorbidos por la piel y frenados por la crema del total de los rayos que llegan del sol:
Ahora nos queda un último pedazo de información:
De la ecuación 1 sabemos que "UVAt + UVBt = 1". También sabemos que UVBf = 0,0495. Reemplazando éstos valores en la ecuación anterior obtenemos:
Aquí ya podemos depejar UVAf!
Como sabemos que UVAt = 0,95, ya podemos calcular "UVAf/UVAt"!
que es la fracción de rayos UVA frenados por la crema. En porcentaje sería:
Tiene sentido que el porcentaje del total (UVA + UVB) de rayos frenados (96%) sea muy parecido al porcentaje de rayos frenados sólo de UVA (95,85%), puesto que la mayoría de los rayos que llegan son UVA, un 96%.
El problema podría haber sido resuelto más directamente si pensamos que todos los rayos frenados por la crema (0,96) son la suma de los rayos UVA frenados por la crema más los rayos UVB frenados por la crema, que se representa con la siguiente ecuación:
Las cremas solares nos protegen de las radiación ultravioleta solar, que nos daña la piel si estamos expuestos por mucho tiempo. La radiación ultravioleta está compuesta por radiación UVC, UVB y UVA. Luego de atravesar la atmósfera, la UVC es totalmente absorbida, parte de la UVB es absorbida y la UVA atraviesa la atmósfera sin ser absorbida. El FPS de las cremas solares son un indicativo de cuánta radiación UVB que llega a la tierra es absorbida por nuestra piel, a mayor FPS, menor radiación UVB es absorbida por nuestra piel. Pero no nos dice nada sobre cuánto frena a la radiación UVA. Por esta razón, algunas cremas también informan en su etiqueta sobre el poder de barrera que ejercen sobre la raciación UVA.
Ahora... el ejercicio (iba a decir el "problema", pero una vez un alumno me pidió que no dijera que es un problema porque tiene una connotación negativa, por lo que ahora digo sólo "ejercicio").
Cierta crema solar dice que nos protege del 99% de los rayos UVB, es decir, del 100% de los rayos UVB que llegan a nuestro cuerpo, el 99% es frenado y el 1% llega a nuestra piel. Y también nos dice que el 96% de todos los rayos UVB y UVA son frenados por la crema, y el restante 4% llegan a nuestra piel. Si de la radiación ultravioleta que llega a la tierra el 95% es UVA y el 5% es UVB, ¿qué porcentaje de la radiación UVA es frenada por la crema?
La respuesta, la semana que viene.
Resolución
Tenemos mucha información para este ejercicio, y la volcaremos en ecuaciones para resolverlo. Debe haber varias formas de resolverlo, dependiendo de las ecuaciones que usemos. Mientras tengamos la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas, podremos resolver el problema.
Empecemos diciendo que la totalidad de los rayos que llegan a nuestro cuerpo son UVB y UVA, y ésto los representamos de la siguiente ecuación:
UVBt + UVAt = 1 (Ecuación 1)
Para cada rayo UVB y UVA, una porción será absorbida por la piel, y otra será frenada por la crema, lo cual los representaremos con las siguientes ecuaciones:
UVBt = UVBa + UVBf
UVAt = UVAa + UVAf
donde los subíndices "t", "a" y "f" significan "total", "absorbido por la piel" y "frenada por la crema", respectivamente.
En este momento es bueno definir que lo que estamos buscando es "UVAf/UVAt", es decir, el porcentaje, o la fracción, de la radiación UVA que es frenada por la crema. Para ser estrictos, el porcentaje sería "(UVAf/UVAt)*100%".
Ahora vamos ponerle números a las ecuaciones. En el tercer párrafo, el "informativo", la última información suministrada nos dice que;
UVAt = 0,95 ("...de la radiación ultravioleta que llega a la tierra el 95% es UVA...")
UVBt = 0,05 ("...y el 5% es UVB...")
Y se ve claramente que UVBt + UVAt = 1.
Por otro lado, la primer parte del párrafo dice que:
UVBa = 0,01 * UVBt
UVBf = 0,99 * UVBt
De aquí podemos obtener el porcentaje de los UVB absorbidos por la piel y frenados por la crema del total de los rayos que llegan del sol:
UVBa = 0,01 * 0,05 = 0,0005
UVBf = 0,99 * 0,05 = 0,0495
Ahora nos queda un último pedazo de información:
0,96 * (UVAt + UVBt) = UVAf + UVBf
("el 96% de todos los rayos UVB y UVA son frenados por la crema")
De la ecuación 1 sabemos que "UVAt + UVBt = 1". También sabemos que UVBf = 0,0495. Reemplazando éstos valores en la ecuación anterior obtenemos:
0,96 * 1 = UVAf + 0,0495
Aquí ya podemos depejar UVAf!
UVAf = 0,96 - 0,0495 = 0,9105
Como sabemos que UVAt = 0,95, ya podemos calcular "UVAf/UVAt"!
UVAf/UVAt = 0,9105/0,95 = 0,9584
que es la fracción de rayos UVA frenados por la crema. En porcentaje sería:
(UVAf/UVAt) * 100% = 95,84 %
Tiene sentido que el porcentaje del total (UVA + UVB) de rayos frenados (96%) sea muy parecido al porcentaje de rayos frenados sólo de UVA (95,85%), puesto que la mayoría de los rayos que llegan son UVA, un 96%.
El problema podría haber sido resuelto más directamente si pensamos que todos los rayos frenados por la crema (0,96) son la suma de los rayos UVA frenados por la crema más los rayos UVB frenados por la crema, que se representa con la siguiente ecuación:
UVAf * UVAt + UVBf * UVBt = 0,96
UVAf * 0,95 + 0,99 * 0,05 = 0,96
De aquí, la única incógnita es UVAf, y podremos calcular luego UVAf/UVAt.
Abajo se muestra la división de todos los rayos UV provenientes del sol de acuerdo a su destino: la piel y la crema. Los datos son específicos para esta crema en particular.
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Abajo se muestra la división de todos los rayos UV provenientes del sol de acuerdo a su destino: la piel y la crema. Los datos son específicos para esta crema en particular.
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